El espejo ondulado

El espejo ondulado

Fabricado a mano, de la misma manera que los fabricantes de automóviles en el pasado hacían la carrocería de sus coches, nos permite acercarnos a la óptica en el espacio. La forma del espejo se ha calculado utilizando las ecuaciones de su superficie. Está iluminado por un videoproyector, que supondremos que es una fuente puntual, dada su distancia al espejo. Su reflejo en el espejo dibuja curvas cáusticas en el techo y en las paredes de la sala de exposiciones. Una línea recta en el espacio está definida por 4 parámetros. Para ver esto, considere dos planos cualesquiera; fijos pero distintos. La línea que une dos puntos, cada uno de ellos tomado de planos diferentes, es única. Como la posición de un punto en un plano depende de dos parámetros, sus coordenadas, se necesitan cuatro parámetros para definir una línea. Las familias de líneas en el espacio que dependen de sólo dos parámetros se llaman congruencias de líneas. Tienen una regularidad que hereda la regularidad de la parametrización. La congruencia inicial es radial. Tras el reflejo en el espejo, se vuelve más interesante, los rayos de la congruencia envuelven dos superficies cáusticas regulares, excepto las líneas de cúspide. La intersección de estas superficies en los planos del techo y las paredes dibuja curvas cáusticas similares a las observadas en el caso de la óptica bidimensional. Las superficies de onda de la congruencia radial son esferas. Tras el reflejo en el espejo, se deforman. En las proximidades del espejo siguen siendo regulares, pero a medida que se alejan de él adquieren singularidades. En la dimensión dos las líneas cáusticas eran los lugares de los centros de curvatura del frente de onda. La situación es similar en la dimensión tres, pero más complicada. La existencia en cada punto de la superficie de dos curvaturas principales, una curvatura mínima y una curvatura principal implica que sus normales envuelven dos superficies cáusticas.