Las familias de líneas recta dependen de un parámetro:
Tangentes y Normales de une Parabola.
Como punto de entrada, esta luminosa tabla acrílica define el lenguaje: tangentes, normales, curvaturas, curvas caustica, bifurcaciones y las familias de lineas recta que dependen de un parámetro.
Las tangentes a un arco de parábola forman una familia de lineas recta de un parámetro. Las tangentes a una curva la « envuelven ». La curva cáustica correspondiente es entonces simplemente el arco de la propia parábola. Sus normales, las líneas perpendiculares a las tangentes, forman otra familia, más interesante porque estas líneas generan una curva cáustica que tiene una cúspide. La existencia de esta curva, la « parábola semi-cúbica », fue anticipada por Apollonio (200 a.C.) en sus « Cónicas », luego estudiada por Huygens en el siglo XVII, en el nacimiento de la geometría diferencial. La curva cáustica es también el lugar de los centros de curvatura de los círculos osculantes, círculos que mejor se aproximan a la curva. Una curva cáustica es también el lugar de cambio del número de rayos que pasan por un punto. Dos tangentes pasan por un punto bajo la parábola. De hecho, se pueden trazar dos linea recta tangentes a la parábola que pasen por un punto inferior a la misma. Estas dos tangentes forman un sector angular cuyo ángulo es el ángulo aparente del arco en este punto. Cuando el punto está por encima del arco de la parábola, no existe tangente. La curva cáustica aparece entonces como un linea de bifurcación: dos líneas de la familia en el exterior y ninguna en el interior. La curva cáustica de las normales tiene una propiedad similar. Por debajo de la curva cáustica hay tres líneas familiares, mientras que por encima sólo hay una. Por encima de la curva cáustica hay tres líneas de la familia, dos de las cuales desaparecen por bifurcación a través de la curva cáustica. En la curva cáustica tenemos una línea « doble », similar a las raíces dobles de una ecuación algebraica, como la ecuación de segundo grado. En la cúspide tenemos una línea « triple », otra bifurcación. Por último, observamos que la densidad de las líneas diverge a medida que tendemos hacia la curva de la cáustica. Esta densidad es mayor en las proximidades de la cúspide, ya que en este punto coinciden tres líneas. Estas consideraciones de carácter puramente matemático cobrarán todo su sentido en el estudio de los espejos curvos y, en particular, de las imágenes múltiples observadas en los espejos parabólicos y gaussianos.
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Las perpendiculares, también llamadas líneas normales de una línea recta (en azul en la figura) forman una familia con un parámetro de línea recta. Cada normal se define por la posición del punto, sus pies, en la línea. Este es su parámetro.
Dobla ligeramente la recta, manteniendo la familia de sus normales. Obviamente, ya no son paralelos.
Evidentemente, las líneas normales del soporte acaban cruzándose, para las flexiones más grandes.
Cuando la curvatura del soporte es lo suficientemente grande, las normales envuelven una curva singular. En el lenguaje de la óptica, estas curvas se denominan curvas « cáusticas ». En el caso particular de las normales de la parábola esta curva es la curva semicúbica. Aparece en forma geométrica en el libro V de Apollonio sobre las cónicas. Su versión analítica se debe a Huygens y Newton. Todas las cúspides observadas en los patrones de luz son cúspides locales de Apollonius-Huygens. Participan en la universalidad de los patrones de luz.
Por el punto representado por el disco negro pasan tres líneas normales a la parábola. Este punto se encuentra por encima de la « envolvente » de las normales, también llamada curva cáustica. Estas tres normales provienen de tres puntos de la parábola. Los discos amarillos son los centros de los círculos que mejor se aproximan a la curva en estos puntos, los círculos « osculadores ». El segmento que une el punto de la parábola con el centro de la circunferencia es el radio de curvatura de la curva en ese punto.